A ideia do infinito é provavelmente tão antiga quanto os próprios números, remontando a quando as pessoas perceberam que poderiam continuar contando para sempre. Mas, embora tenhamos um sinal para o infinito e possamos nos referir ao conceito em conversas casuais, o infinito permanece profundamente misterioso, mesmo para os matemáticos. Neste episódio, Steven Strogatz conversa com seu colega matemáticoJustin Mooreda Cornell University sobre como um infinito pode ser maior que outro (e se podemos ter certeza de que não há um infinito intermediário entre eles). Eles também discutem como físicos e matemáticos usam o infinito de forma diferente e a importância do infinito para o próprio fundamento da matemática.
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Transcrição
Steve Strogatz(00:03): Sou Steve Strogatz, e este éA alegria do porquê, um podcast deRevista Quantaque leva você a algumas das maiores questões não respondidas em matemática e ciências hoje.
(00:13) Neste episódio, vamos discutir o infinito. Ninguém sabe realmente de onde veio a ideia do infinito, mas deve ser muito antiga – tão antiga quanto as esperanças e medos das pessoas sobre coisas que poderiam durar para sempre. Alguns deles são assustadores, como um poço sem fundo, e alguns deles são edificantes, como um amor sem fim. Dentro da matemática, a ideia de infinito é provavelmente tão antiga quanto os próprios números. Uma vez que as pessoas perceberam que poderiam continuar contando para sempre - 1, 2, 3 e assim por diante. Mas, embora o infinito seja uma ideia muito antiga, ele permanece profundamente misterioso. As pessoas têm coçado a cabeça sobre o infinito há milhares de anos, pelo menos desde Zenão e Aristóteles na Grécia antiga.
(00:57) Mas como os matemáticos entendem o infinito hoje? Existem diferentes tamanhos de infinito? O infinito é útil para os matemáticos? E se sim, como exatamente? E o que tudo isso tem a ver com os fundamentos da própria matemática?
(01:14) Juntando-se a mim hoje para discutir o infinito está Justin Moore, professor de matemática em Cornell. Seus interesses de pesquisa incluem teoria dos conjuntos, lógica matemática e combinatória infinita e suas aplicações a outros campos da matemática, como topologia, análise funcional e álgebra. Bem-vindo, Justino.
Justin Moore(01:33): Ei, Steve. Obrigado por me receber.
Strogatz(01:35): Sim, estou muito animado para falar com você. Devo dizer, talvez para divulgação completa, Justin é meu amigo e colega no departamento de matemática da Cornell. OK, vamos lá, então, pensar sobre o infinito como os matemáticos pensam sobre isso. Na verdade, talvez antes de mergulharmos na parte matemática, vamos falar um pouco sobre o mundo real, porque não vamos ficar lá por muito tempo. Agora, estou certo, que você já foi treinado no mundo da física?
moura(02:02): Sim, era uma graduação dupla de física com matemática, quando eu era estudante. Eu meio que me cansei de física. Comecei favorecendo a física e também me interessando um pouco pela matemática de forma mais recreativa. E então, de alguma forma, durante o curso, fiquei mais interessado em matemática e física.
Strogatz(02:18): OK. Bem, e quanto à física do infinito? Faz sentido mesmo? Existe alguma coisa infinita no mundo real que conhecemos?
moura(02:26): Você sabeesse vídeo,As potências de 10, que foi criado por Charles e Ray Eames? Onde basicamente cada - acho que é a cada 10 segundos, você é uma potência de 10 menor. Bem, a princípio, acho que uma potência de 10 é maior. Você diminui o zoom. E então, a cada 10 segundos, você é uma potência de 10 menor e vai da maior escala do universo para a menor escala de partícula subatômica. Você sabe, isso foi feito, quero dizer, no final dos anos 70 ou início dos anos 80. E acho que nossa compreensão de algumas coisas evoluiu um pouco desde então, mas não muito. Mas quero dizer, o que quero dizer é que existem cerca de 40 potências de 10 que separam a menor escala de comprimento da maior escala de comprimento, e talvez você possa ser generoso e adicionar várias potências de 10 extras, apenas para garantir. Mas é justo dizer que não há nada que você possa medir na física que seja maior do que, você sabe, 10100ou 10200ou algo assim.
(03:22) E talvez nosso conceito de que as coisas sejam contínuas - movimento contínuo ou qualquer outra coisa - talvez tudo isso seja apenas uma ilusão. Talvez tudo seja realmente granular e finito. Mas o que é verdade é que certamente os físicos descobriram muito sobre o mundo em que vivemos, imaginando que as coisas são suaves e contínuas, e que esse infinito faz sentido. Quando você vai para as partes da física onde eles ainda não formalizaram as coisas, muitos dos problemas que os matemáticos têm com essa redução para os físicos são como tratar o infinito de várias maneiras arrogantes e subtrair infinitos de infinitos , e talvez não sendo tão responsáveis por isso quanto um matemático gostaria que fossem. Eu não acho que essa seja uma declaração controversa. Acho que um físico faria - a maioria dos físicos provavelmente faria - quero dizer, OK, talvez você saiba melhor. Mas acredito que a maioria dos físicos diria que essa é uma afirmação bastante correta.
Strogatz(04:20): Então, em termos de sua própria história pessoal - eu prometo que não vou me aprofundar muito para envergonhá-lo sobre isso - mas o que foi que o levou ao infinito? De alguma forma, a física parecia pequena demais para você? Ou você apenas gosta do rigor da matemática, ou…?
moura(04:33): Quero dizer, acho que me interessei pela matemática como um todo e me afastei da física antes de me interessar especificamente pela teoria dos conjuntos. Ironicamente, foi porque eu - bem, se você faz uma aula de física, em algum momento, acaba sendo bastante rápido e solto com a matemática. E você está bem com isso ou não. Eu era uma das pessoas que não concordava com isso.
Strogatz(04:56): Hã. E eu era um que estava bem, e ainda estou fazendo isso. Você sabe, quero dizer, essas coisas não me preocupam muito, embora eu respeite o cuidado que - a integridade intelectual que os matemáticos puros têm, você sabe, se preocupando com essas coisas.
(05:11): OK, então suponha que eu fosse apenas, não sei, como um adolescente curioso, e nem sei o que é o infinito. O que você diria que é? Devo pensar nisso como um número muito grande? É algum símbolo? É uma propriedade? Qual é uma boa maneira de pensar sobre o que é o infinito?
moura(05:26): Sim, quero dizer, acho que é - pode ser um ponto idealizado no final da linha, certo? Pode ser um símbolo formal. Você sabe, você pode pensar nisso da seguinte maneira ... um símbolo formal no mesmo sentido que, digamos, introduzimos -1, certo? E eu me lembro quando eu era criança, que os professores não estavam dispostos a deixar claro se era seguro falar sobre números negativos. E, certo, isso parece bobo em retrospectiva, mas em algum nível, certo, -1 existe no mundo real? Mas você pode manipulá-lo formalmente e pode manipular formalmente o infinito em algum nível, mas talvez tenha que exibir um pouco mais de cuidado. Você também pode usar o infinito como um meio de quantificar quantos existem de alguma coisa. E isso abre mais portas aí, porque você pode falar que existem conjuntos infinitos, alguns maiores que outros.
Strogatz(06:15): OK. Tudo bem. Você mencionou a palavra “conjuntos” e certamente falaremos muito sobre conjuntos hoje. Eu disse que seus interesses incluem a teoria dos conjuntos. Você quer dizer mais alguma coisa sobre o que você quer dizer com um conjunto?
moura(06:26): Acho que... A resposta é sim e não. Então, acho que não há problema em voar pelo assento das calças e apenas vê-lo como apenas, você sabe, uma noção indefinida e usá-la de forma intuitiva. Mas também foi usado como um mecanismo para fornecer os fundamentos da matemática, quando as pessoas perceberam que precisávamos ter alguns, fazer alguns fundamentos cuidadosos do que é a matemática.
Strogatz(06:49): Uh huh. É interessante. Porque eu - assim, quando crianças, aprendemos a contar nos dedos, ou nossos pais provavelmente começam a dizer palavras, e então eles podem apontar para as coisas e dizer: "1, 2, 3 ..." E aprendemos sons - crianças assim quando são bem pequeninos, eu sei, né? Quero dizer, se você tiver filhos pequenos ou parentes. Então tem esse lado das coisas. E acho que a maioria das pessoas imaginaria que os números são a base da matemática. Mas você está dizendo, e acho que a maioria dos matemáticos concordaria, que há algo ainda mais profundo do que números, que é o conceito de conjuntos, certo?
moura(07:22): Acho que o conceito de “conjunto” surgiu como um conceito fundamental porque é tão básico e tão primitivo. E se você quiser ter algo para usar como um tecido para a matemática, você quer começar com algo onde suas propriedades básicas pareçam muito primitivas, e então começar a partir daí. E então a ideia é que você use conjuntos para codificar coisas como os números de contagem, e coisas como os números racionais, e os números reais, e assim por diante. E então, a partir daí, todos os tipos de outras construções matemáticas mais complicadas, como variedades, ou, ou qualquer outra coisa.
Strogatz(07:57): Para que eu me lembre, em umVila Sesamoepisódio que eu costumava assistir com meus filhos. Foi em um filme; Eu acho que foi. Que há um personagem que estava pedindo peixe para uma sala cheia de pinguins famintos. E ele pediu aos pinguins que gritassem e eles dissessem: “Peixe, peixe, peixe, peixe, peixe, peixe”. E então o garçom grita para a cozinha: “Peixe, peixe, peixe, peixe, peixe”. E então outra pessoa diz: “Não, você entendeu errado.” E outra pessoa diz: "Bem, por que você não disse que eles pediram seis peixes?" Mas deixa claro que essa ideia de número vem depois dessa coleção de objetos de peixes. E então outro personagem fica surpreso e diz: “Funciona para velas de ignição? E pãezinhos de canela?
moura(08:42): Quer dizer, eu acho também, é só se você está interessado em tentar entender, você pode provar isso? Ou você pode provar isso? E você está tentando definir as regras de como provar as coisas ou o que quer que seja, gostaria que os princípios básicos fossem o mais simples possível. E assim, em vez de tentar escrever regras de como a aritmética funciona, você começa escrevendo regras mais simples para coisas mais simples e, em seguida, constrói a aritmética a partir desses blocos de construção mais básicos.
Strogatz(09:08):OK. Então, e isso me lembra de “Nova matemática” também, quando éramos crianças nos anos 60, costumávamos aprender sobre interseções, diagramas de Venn e uniões, certo? Esse foi o começo da teoria dos conjuntos. Eles estavam nos ensinando - não me lembro - era segunda ou terceira série; meus pais não sabiam por quê. Mas acho que foram matemáticos do seu tipo, ou outros, que achavam que as crianças deviam aprender conjuntos, antes ou ao mesmo tempo em que aprendiam aritmética.
moura(09:33): Sim, a maior parte do que as pessoas estudam na teoria dos conjuntos, quero dizer, hoje em dia é realmente como os conjuntos infinitos funcionam. Porque nossa intuição sobre conjuntos infinitos não é tão boa quanto nossa intuição sobre conjuntos finitos. E acho que é por isso que a busca por fundações estava lá. Foi em parte porque gostaríamos de escrever, OK, o que temos certeza de que deveriam ser as propriedades de conjuntos infinitos e conjuntos em geral, e então tentar desenvolver o que é verdade sobre conjuntos infinitos a partir daí?
Strogatz(10:03): OK, então por que não temos alguns exemplos? Você pode me dar alguns exemplos de coisas que são conjuntos infinitos?
moura(10:08): Bem, como os números naturais. Como você estava dizendo - como 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 e assim por diante - mas também coisas como os números racionais. Você sabe, frações como dois números naturais um sobre o outro, ou talvez uma fração negativa. Mas também existem coisas como os números reais, onde - você sabe, qualquer coisa que você possa expressar com um decimal, incluindo coisas como pi ee.
Strogatz(10:28): Mm-hmm. Assim, eles poderiam ter infinitos dígitos após o ponto decimal.
moura(10:32): Sim, sim, infinitos dígitos. Eles não precisam repetir.
Strogatz(22:35): Uh huh. E quanto a coisas como formas ou pontos ou coisas geométricas, não apenas coisas numéricas?
moura(10:41): Sim, você pode falar sobre coleções de formas geométricas também.
Strogatz(10:45): OK, então esta é uma boa característica dos conjuntos: podemos, com conjuntos, unificar ou pelo menos ter uma linguagem comum para falar sobre aritmética, geometria, ….
moura(10:54): Certo.
Strogatz(10:55): Suponho que poderíamos falar sobre um conjunto de funções, se estivéssemos fazendo um curso de pré-cálculo. Você sabe, como o conjunto do conjunto de funções contínuas, se estivéssemos em um curso de cálculo.
moura(11:04): Claro. Sim.
Strogatz(11:05):Ou seja o que for. Então, sim, isso nos dá uma linguagem comum para todas as diferentes partes da matemática.
moura(11:09): Certo.
Strogatz(11:10): E - mas é uma ideia relativamente nova como fundamento da matemática em termos da história geral da matemática, você não diria?
moura(11:16): Sim, quero dizer, eu… Bem, a matemática moderna como a conhecemos, tem algo entre 100 e 150 anos. Mas eu costumo associá-lo ao redor - a primeira parte do século passado foi quando, realmente, começamos a ver todas as principais partes da matemática como as conhecemos hoje começarem a se desenvolver e realmente se tornarem assuntos distintos por conta própria. E isso também foi na mesma época em que [Bertrand]Russell descobriu seu paradoxo, que estimulou a necessidade de algum tipo de fundamento rigoroso para a matemática.
Strogatz(11:49): Uh, hein. Devemos mencionar - sim. Portanto, Bertrand Russell, do qual estamos falando agora, costuma ser mais conhecido como filósofo ou pacifista e, no entanto, era um matemático e lógico bastante forte, alguém interessado na lógica como parte da matemática.
moura: Yeah, yeah.
Strogatz(12:04): Então, como você disse, ele foi uma das pessoas que ajudou a fazer a teoria dos conjuntos realmente rolar. E mesmo antes dele, havia este senhor,Jorge Cantor, de quem falaremos bastante, na Alemanha no final do século XIX.
(12:17): OK, então como dentro da matemática, digamos, os matemáticos usam o infinito? Você mencionou como isso pode ser útil. Onde é usado?
moura(12:27): Sim, então, em uma aula de cálculo, é um símbolo útil para fazer certos cálculos. Falar sobre como uma função se comporta quando a entrada se torna muito grande. Você pode falar sobre o limite no infinito, ou proporções de quantidades quando um número vai para zero ou infinito ou algo assim. Essa é uma noção de infinito que está no primeiro sentido que mencionei, onde você vê o infinito como um ponto idealizado no final da linha.
(12:53) Mas você também pode falar sobre isso como - você sabe, você pode, você pode falar sobre a contagem do número de elementos de alguma coleção ou algum conjunto, e acompanhar o número finito de elementos que ele tem ou talvez, se tem infinitos elementos, tentando distinguir entre diferentes tamanhos de infinito. Quero dizer, todo mundo entende – ou finge entender – a distinção entre ser finito e ser infinito. E eu pensoA notável descoberta de Cantorfoi que você pode, para um conjunto infinito, fazer outras distinções. Você pode distinguir entre o que é chamado de contável e o que é chamado de incontável. Ou mesmo apenas em geral, cardeais incontáveis mais altos do que distinções entre diferentes cardeais incontáveis.
Strogatz(13:34): Tá bom, vamos lá. Porque isso é, isso realmente nos leva ao coração do nosso assunto. Acho que a pessoa comum que ouve a palavra "contável" pela primeira vez pode pensar que significa literalmente contável, como algo que tem 10. Sabe, se houver 10 velas de ignição na mesa, eu poderia contá-las - 1, 2, 3 , até 10. Mas você e outros matemáticos usam contável para significar algo um pouco diferente disso.
moura(13:56): Significa apenas que você pode atribuir um número natural a cada elemento do conjunto para que nenhum número natural seja usado duas vezes.
Strogatz(13:56): Então algo pode ser contável e infinito.
moura(13:57): E infinito. Portanto, os números naturais são obviamente contáveis porque eles contam a si mesmos. Mas talvez um pouco menos óbvio seja que os inteiros, incluindo os negativos dos números naturais, são contáveis.
Strogatz(14:18): Então, vamos falar sobre isso por um segundo. Então, se uma pessoa nunca pensou nisso antes, é interessante. Porque como - assim você disse, você vai considerar todos os números, todos os inteiros positivos, todos os inteiros negativos e zero.
moura(14:29): Sim.
Strogatz(14:30): E você pode fazer errado. Por exemplo, se você começasse do zero e começasse a contar para a direita e fosse 0, 1, 2, 3, nunca mais voltaria aos números negativos. E então você teria falhado em contar todos os números inteiros.
moura(14:41): Sim.
Strogatz: Mas o que você deve fazer em vez disso?
moura: O que você pode fazer é contar, sabe, 0, 1, -1 e depois 2, -2, 3, -3, 4, -4, 5, -5. E se você os listar dessa maneira, eventualmente listará tudo.
Strogatz(14:55): Lindo. Portanto, esse argumento em ziguezague em que você está pulando entre os positivos e os negativos é uma maneira organizada e sistemática de mostrar que, se você pensar em qualquer número inteiro, eventualmente ele estará na lista.
moura: Sim. Sim.
Strogatz(15:07): Então isso é ótimo. Então OK, então os números inteiros são contáveis. Cantor também descobriu algumas outras coisas que eram contáveis - não sei se ele ficou surpreso, mas muitos de nós ficamos surpresos quando aprendemos sobre isso. Como, como o quê?
moura(15:21): Sim, acho que dois bons exemplos que são surpreendentes são os - primeiro, os racionais. Portanto, a coleção de todas as frações de dois números inteiros é contável. Isso é realmente muito fácil de ver quando você pensa sobre isso, porque você pode simplesmente listar todas as frações com denominador 1 - ou valor absoluto do numerador e do denominador no máximo 1. E então, no máximo 2, no máximo 3, no máximo 4 .E em cada estágio, há apenas um número finito de frações onde o numerador e o denominador são pelo menos em magnitude no máximo n. E então você pode esgotar todos os racionais dessa maneira.
Strogatz(15:55): Então, se eu estivesse escolhendo o número n para ser 3, você está dizendo que eu poderia ter um número como 1/2 ou 2/1, ou 0/3, porque o numerador mais o denominador somam para 3?
moura(16:06): Sim. Outra, que é, novamente, meio surpreendente, é se você pegar o número de palavras que pode escrever no alfabeto latino ou em qualquer alfabeto que desejar. Há, no máximo, muitas palavras finitas ou sequências finitas de símbolos provenientes desse alfabeto. Se você pensar em todas as palavras ou frases, todas as peças de literatura, se quiser -
Strogatz: Uau.
moura(16:30): — qualquer coisa que não só existe agora, mas poderia potencialmente existir em algum momento no futuro. Você sabe, você coloca esses infinitos macacos na máquina de escrever e olha quais são as saídas que eles poderiam gerar em uma quantidade finita de tempo. Isso tudo é apenas um conjunto contável.
Strogatz(16:44): Uau. Então, todos os livros possíveis, digamos, em latim, em todas as línguas possíveis que conhecemos?
moura(16:50): Em todos os idiomas possíveis. Sim. Quero dizer, se você quiser, pode ter um alfabeto contável, se quiser. Isso não torna nada maior.
Strogatz(16:56): Tão contável pareceria um infinito muito grande. E ainda -
moura(16:59): Sim. A primeira coisa surpreendente é que aqueles conjuntos que parecem ser maiores que os números naturais, na verdade, são do mesmo tamanho que os números naturais. Eles são contáveis. Mas há outra surpresa, que é que os números reais, o conjunto dos números decimais, são incontáveis.
Strogatz(17:13): Portanto, há este ponto notável que você mencionou que pode haver conjuntos que não são contáveis. E eu acho que talvez o exemplo mais simples seja: Pense em uma linha que vai até o infinito em ambas as direções. Então, como uma linha reta infinitamente longa. A linha real, como a chamaríamos. Isso é incontável.
moura(17:32): Certo. Se você me der uma lista, uma suposta lista de todos os elementos dessa linha, existe um procedimento chamado argumento diagonal, que permite produzir um novo ponto que está na linha, mas não na sua lista. Essa foi a famosa descoberta de Cantor.
Strogatz(17:49): Então essa foi uma descoberta totalmente surpreendente, acho que na época, certo? Que agora você pode de repente falar sobre dois conjuntos infinitos e compará-los.
moura(17:58): Sim, sim. E a distinção entre contável e incontável é realmente útil em matemática. Basicamente, conjuntos contáveis, você ainda pode falar sobre somas que são de comprimento infinito contável. Isso é algo que é ensinado no final de um padrão - final de um curso de cálculo do segundo semestre. Considerando que as somas sobre conjuntos incontáveis são menos significativas, ou pelo menos você tem que defini-las de uma forma mais delicada. Dito isso, algo mais na linha de uma integral ou algo assim.
Strogatz(18:30): OK, agora que temos essa distinção de contável, como os números inteiros — 1, 2, 3, 4, 5 — e incontável, como os pontos em uma linha. Há outra questão que acho que seria boa se pudéssemos dedicar algum tempo a ela. Chamada de hipótese do contínuo. Você poderia, você poderia nos dizer o que é isso?
moura(18:50): Sim. Então Cantor se perguntou: Existe, existe algo intermediário? Você pode - você sabe, os números naturais ficam dentro dos números reais, e os números naturais são contáveis. Os números reais são incontáveis e maiores que os números naturais. Existe um conjunto de números reais que é maior que os números naturais, mas menor que o -
Strogatz(19:10): Menor neste sentido de contagem.
moura(19:12): — menor que a linha? Existe um conjunto de pontos nessa linha, na linha numérica, que é maior que os números naturais, maior que os racionais, mas menor que a própria linha inteira? A afirmação de que não existe tal conjunto intermediário é chamada de hipótese do contínuo. E esse foi o primeiro problema de Hilbert, se a hipótese do contínuo é uma afirmação verdadeira ou falsa.
Strogatz(19:35): Uh huh, então Hilbert foi um grande matemático disso - talvez um pouco mais tarde, mas não muito mais tarde. E no ano - o que foi, 1900 ou mais, eu acho - ele anunciou ou deu uma lista do que ele pensava serem alguns dos maiores problemas para o futuro, no ponto em que os matemáticos do século 20 trabalhariam. E acho que essa era a pergunta número um da lista dele?
moura(19:58): Sim, esta foi a pergunta número um.
Strogatz(20:00): Uau. Então foi grande pensar sobre isso. Cantor, você diz, chamou isso de hipótese. Ele pensou que seria verdade.
moura: Sim.
Strogatz(20:07): Que não havia infinito entre os dois que ele já conhecia
moura(20:11): Sim. E o fato é que ele sobrevive ao teste de procurar contra-exemplos. Quero dizer, se você começar a olhar para todos os conjuntos de reais, subconjuntos da linha que você pode escrever uma descrição ou que você pode construir por algum meio. Ele tentou isso. E ele provou, quer dizer, bem, ele mostrou que não existem contra-exemplos. Existem até mesmo teoremas iniciais que dizem que conjuntos deste ou daquele tipo não podem ser contra-exemplos.
Strogatz(20:40): Isso é incrível. Deixe-me ter certeza de que entendi. Nunca ouvi esta afirmação: apenas o simples fato de alguns deles serem descritíveis os torna, em certo sentido, não bons o suficiente.
moura(20:49): Por exemplo, um conjunto que é fechado tem todos os seus pontos limites. Cantor provou que isso não pode ser um contra-exemplo. Ou é contável ou tem o mesmo tamanho dos reais.
Strogatz(21:00): Então se houver um contra-exemplo, tem que ser indescritível.
moura(21:04): Sim, deve ser complicado.
Strogatz(21:06): Uau. Mas é claro que é possível que exista, só que seria uma coisa realmente bizarra.
moura(21:12): Sim. Isso nos leva a algo que está voltando a essa questão fundamental. Você sabe, naquela época eles estavam começando a tentar formalizar o que eram os axiomas da matemática. E algum tempo depois, por volta de - na década de 1930, [Kurt] Gödel provou que, na verdade, qualquer tipo de sistema de axioma inteligível que você possa ter que atinja o modesto objetivo de formalizar a aritmética nos números naturais é necessariamente incompleto. Existem declarações que você não pode provar a partir deste sistema de axiomas e não pode refutá-las a partir dos axiomas, usando provas finitas padrão.
(21:52) E isso foi, eu acho, bastante chocante. Porque diz a você que o objetivo de tentar de alguma forma resolver todos os seus problemas em matemática e produzir algum tipo de fundamento algorítmico, algum fundamento completo da matemática está, em certo sentido, condenado. Ou pelo menos tem que ser governado por alguma intuição superior além de apenas - não sei - o que estava disponível na época.
(22:16) E o que Gödel provou - uma das coisas que ele provou mais tarde foi que uma das afirmações que você não pode provar ou refutar é a afirmação de que seu sistema de axiomas é consistente em primeiro lugar. Que isso não leva a nenhuma contradição. Essa declaração pode ser codificada como algum tipo de declaração sobre teoria dos números, sobre aritmética nos números naturais, mas não de uma forma particularmente natural. Se você for falar com um dos teóricos dos números do departamento, eles não considerarão isso um problema ou uma afirmação da teoria dos números, embora tecnicamente seja. E assim foi — uma questão que ficou da época de Gödel era se a hipótese do contínuo — ou se existe alguma outra afirmação matemática natural, que é indecidível com base no sistema de axiomas com o qual estávamos trabalhando.
Strogatz(23:02): Então existe esse conceito de axiomas. Provavelmente deveríamos tentar lembrar como eles se parecem. Porque se estamos fazendo uma matemática muito cuidadosa, temos que estabelecer algumas definições, mas também algumas coisas que tomamos - não sei por que não quero dizer "damos por certo", mas que aceitamos como alicerce.
moura(23:19): Sim, sim. Então, isso é, quero dizer, isso é algo que os gregos fizeram, que foi, você sabe - uma das conquistas na formalização da geometria - foi, em vez de tentar definir o que é geometria, meio que vê-la como: você é vou anotar alguns termos indefinidos e, em seguida, anotar as regras ou axiomas que governam como esses termos indefinidos se comportam. Para eles, eram coisas como um ponto e uma linha. E quando um ponto está em uma linha, esses são os conceitos indefinidos. E quando um ponto está entre dois outros pontos em uma linha, esses são conceitos indefinidos. E então você escreve um conjunto de axiomas que governam como esses conceitos funcionam. E se você fez certo, todos concordam que essas propriedades são obviamente verdadeiras para essas coisas. E assim, portanto, esses axiomas são coisas que são meio que evidentemente verdadeiras.
(23:19) Então, para geometria, você sabe, existe este famoso postulado paralelo, que - você não poderia derivá-lo dos outros. E foi um tanto revolucionário quando se descobriu que você pode realmente construir modelos de geometria que satisfaçam todos os axiomas, mas não o postulado das paralelas. E, portanto, o postulado paralelo não é demonstrável a partir dos outros axiomas. Então, em certo sentido, o que Gödel fez foi desenvolver um método para fazer isso, mas no nível de modelos de matemática, ou pelo menos modelos desse sistema de axiomas que temos para matemática.
Strogatz(24:45): Aha, essa é uma maneira interessante de dizer isso. Então, onde temos a geometria euclidiana e também temos essas geometrias não-euclidianas mais modernas que, notoriamente, Einstein usou na relatividade geral, mas também são usadas em outros lugares. E eles são logicamente tão bons quanto a geometria euclidiana. Mas agora, em vez de apenas falar sobre geometria, você está dizendo que é como se pudéssemos ter o tradicional - bem, não tenho certeza de quais são as palavras. Qual é o análogo da geometria euclidiana? Existe matemática tradicional?
moura(25:16): Essa é uma questão em aberto. Quero dizer, quero dizer - acho que é em parte uma questão filosófica. Talvez seja uma questão sociológica, porque é uma questão do que é a matemática, certo? Volta a essa pergunta básica. E eu acho que os axiomas que temos, os axiomas ZFC que foram desenvolvidos há pouco mais de 100 anos, são aqueles que geralmente concordamos que são verdadeiros, ou são, são propriedades que o “conjunto” deveria ter, mas eles são não está completo.
Strogatz(25:44): Bem, espere, vamos descompactar tudo isso. Isso soa bem. Então ZFC, por que não começamos com isso? Esses são os nomes de algumas pessoas e uma coisa.
moura(25:51): Sim, sim. “Teoria dos conjuntos de Zermelo-Fraenkel” com algo chamado de “axioma da escolha”. Sim.
Strogatz(25:55): OK. E essas são as regras do jogo que são amplamente aceitas.
moura(25:59): Sim, é uma lista de axiomas que são - é bastante longa, mas não tão longa. Coisas como, se você tem dois conjuntos, há um conjunto que tem os dois como seus elementos. O axioma do emparelhamento, que você pode pegar a união de uma coleção de conjuntos, e isso é um conjunto. E assim por diante.
Strogatz(26:15): Certo. Então existe a maneira ZFC de fazer teoria dos conjuntos, e isso é, você diz, proposto em um determinado momento e as pessoas gostam, mas depois você disse que não está completo?
moura(26:26): Sim. Portanto, é algo que você pode escrever. Um algoritmo de computador para listar os axiomas. É um conjunto infinito de axiomas. Mas com exceção de dois tipos de grupos de axiomas, é finito. Se você não estiver prestando atenção, você realmente pensaria que esses, cada um desses outros grupos de axiomas são axiomas únicos. Mas eles são, na verdade, uma família infinita de axiomas. Você pode gerar um programa de computador que cuspirá todos os axiomas. Tendemos a acreditar que o ZFC é consistente porque não descobrimos nenhuma contradição. Se você acredita nisso, pelo teorema da incompletude de Gödel, o ZFC não será capaz de provar que é consistente.
(27:03) E assim há declarações, como a consistência do ZFC, que o ZFC não pode provar. Esse é um ponto interessante. Porque, novamente, acreditamos que o ZFC é consistente. E essa é, quero dizer, uma das razões pelas quais, quero dizer… A maioria dos matemáticos, eles vão trabalhar com base na fé de que o CFC é consistente. Certo? Mas isso é algo que consideramos uma afirmação verdadeira. Mas não é algo que o próprio ZFC seja suficiente para provar.
Strogatz(27:27): Só estou pensando. Ao longo do caminho aqui, mencionamos Gödel. Não sei se dissemos quem ele é. Você quer nos contar brevemente?
moura(27:34) Sim, ele era. Quero dizer, ele era uma espécie de lógico revolucionário. Este, o Teorema da Incompletude foi uma de suas maiores conquistas. E sua outra grande conquista foi mostrar que a hipótese do contínuo não pode ser refutada usando os axiomas ZFC.
Strogatz(27:49): Algumas pessoas o consideram o maior lógico desde Aristóteles. E Einstein, que foi seu amigo e colega no Instituto de Estudos Avançados, disse que adorava ter o privilégio de ir a pé para o trabalho comKurt Gödel. Quero dizer, ele estava no mesmo nível intelectual de Einstein. Se você nunca ouviu falar dele, recomendo que leia um livro sobre ele chamadoViagem ao limite da razão. Um livro fantástico sobre a vida de Gödel. Mas tudo bem, então ele é, certo, então ele é um lógico de meados do século 20, início do século 20. E você diz que ele provou isso - bem, diga novamente sobre a hipótese do contínuo?
moura(28:23): Dentro de qualquer modelo de teoria dos conjuntos, ele construiu um modelo menor de teoria dos conjuntos que satisfaz a hipótese do contínuo. E o que isso mostra é que você não pode refutar a hipótese do contínuo dentro dos axiomas da teoria dos conjuntos. A partir de um modelo de teoria dos conjuntos, se você tiver um, posso produzir um novo, que satisfaça a hipótese do contínuo.
Strogatz(28:43): Entendo. Portanto, pode haver versões da teoria dos conjuntos, versões menores, que ainda são adequadas para fazer aritmética, imagino.
moura: Sim.
Strogatz(28:51): Mas em que, OK, a hipótese do contínuo é verdadeira, assim como Cantor adivinhou.
moura: Sim.
Strogatz(28:56): E então. Mas então - há um grande "mas" nessa história.
moura(28:59): Sim. Tantos, tantos anos depois,[Paul] Cohendesenvolveu uma técnica chamada forçamento que lhe permitiu ampliar os modelos da teoria dos conjuntos. E usando isso, ele provou que você não pode provar a hipótese do contínuo. Exceto que sua técnica também pode ser usada para provar que você não pode refutá-la. Isso, sim, essa técnica chamada forçar é realmente muito poderosa. Forçar e a técnica de construir um modelo menor dentro do seu modelo de teoria dos conjuntos. Esses são os dois tipos de ferramentas que temos para construir novos modelos de teoria dos conjuntos a partir de modelos antigos da teoria dos conjuntos.
moura(29:32): Voltando à analogia da geometria. Quero dizer, mesmo esses modelos do plano hiperbólico, que eram os modelos não-euclidianos de geometria - eles próprios começam pegando o plano euclidiano ou um subconjunto dele e construindo o modelo de geometria como os pontos e as linhas ali. Os pontos são apenas pontos comuns neste disco. E as linhas ali são círculos, certos círculos na geometria original. O ponto que estou tentando enfatizar é que isso é uma coisa frutífera que você faz em matemática. Muitas vezes, você começa com alguma estrutura que satisfaz seu sistema de axiomas, como uma geometria que satisfaz seus axiomas de geometria, e você a manipula de alguma forma e produz uma coisa nova, que talvez satisfaça um conjunto diferente de axiomas. Isso é o que Cohen e Gödel estavam fazendo, eles estavam pegando um modelo dos axiomas da teoria dos conjuntos - e, portanto, em certo sentido, um modelo de matemática - e manipulando-o usando várias técnicas para produzir novos modelos, que satisfaziam tanto que o hipótese do contínuo é verdadeira, ou que a hipótese do contínuo é falsa.
Strogatz(30:36): Então, isso é realmente incrível para mim, e tenho certeza para muitas pessoas que, você sabe ... Tipo, Platão tem essa filosofia de que existem certas formas ideais por aí e verdades que - talvez possamos Não os vejo aqui na Terra, mas em algum reino platônico, sua verdade existe.
moura: Yeah, yeah.
Strogatz(30:57): E você sentiria que os números reais existem, quer os seres humanos pensem sobre eles ou não, e que a hipótese do contínuo seja verdadeira para os números reais ou não. Mas você está me dizendo?
moura(31:09): Bem, quero dizer, sim, existem diferentes escolas de pensamento sobre isso. Quero dizer, você não poderia - você pode ver isso como, há uma coisa que eu acho que está sob o nome, essa visão genérica do multiverso, que não há mais nada que você possa dizer. Existem apenas todos esses modelos da teoria dos conjuntos. E o melhor que podemos fazer é tentar entender o que há de verdadeiro em cada um deles e transitar entre eles. E essa é uma visão nada platônica das coisas, uma espécie de visão formalista das coisas. Você também pode assumir o ponto de vista de que existe algum modelo talvez preferido da teoria dos conjuntos. Isto é, você sabe, a realidade em que vivemos, e todos esses outros modelos, são modelos dos axiomas, mas não são realmente o que estamos tentando descrever com os axiomas. Acho que a analogia com a geometria é um tanto ilustrativa aí, né? Quero dizer, você pode produzir muitos modelos diferentes de geometria. Mas ainda vivemos em um mundo físico que tem uma geometria e talvez essa seja a geometria que mais nos interessa.
Strogatz(32:03): Entendo. Assim, da mesma forma, poderíamos dar à geometria euclidiana algum status preferencial porque é aquela a que estamos acostumados. É aquele que existe há muito tempo, porque é o mais fácil e óbvio, mas ainda achamos que esses outros são bons e têm seus domínios onde são úteis e interessantes.
moura(32:20): Mas talvez o que valha a pena apontar também é que até mesmo nossa compreensão de... Bem, primeiro, não tenho certeza de que vivemos em uma geometria euclidiana. Mas há, há uma pergunta sobre isso. Mas mesmo nossa compreensão do mundo físico é grandemente enriquecida pela compreensão de todas essas outras geometrias, essa livre exploração de outros modelos de geometria. E o mesmo é verdade com a teoria dos conjuntos. Acho que, mesmo que no futuro cheguemos a algum consenso sobre o que é um novo axioma para a teoria dos conjuntos, chegar a esse destino é algo que certamente não teria sido possível sem toda essa exploração que ocorre antes.
Strogatz(33:00): O que significaria provar ou refutar a hipótese do contínuo? Para cada um desses acampamentos? O que está em jogo?
moura(33:08): Sim, isso é - OK, então acho que o acampamento que adota esse tipo de ponto de vista de "todos os mundos" diria que essa é uma pergunta sem sentido. Que Cohen e Gödel e suas técnicas para construir muitos modelos de teoria dos conjuntos é meio que o fim da discussão. E você sabe, vamos produzir muitos novos modelos de teoria dos conjuntos, talvez, mas nunca teremos uma resposta final para dizer que a hipótese do contínuo é verdadeira ou falsa. As pessoas que assumem o ponto de vista de que existe algum tipo de verdade ou falsidade nessa afirmação, presumivelmente tentariam apresentar algum novo axioma e presumivelmente alguma justificativa heurística de por que esse axioma deveria ser verdadeiro - uma justificativa heurística ou talvez pragmática porque é verdade. E então, uma vez que você argumenta que esse axioma deve ser aceito, que de alguma forma encapsula alguma intuição que temos sobre matemática ou conjuntos, então se esse axioma também provar ou refutar a hipótese do contínuo em uma espécie de sentido formal da palavra, então você veria que CH é verdadeiro ou falso.
Strogatz(34:12): Então é mais ou menos onde estamos agora. Que realmente existem esses dois campos no momento.
moura(34:16): Sim, até certo ponto. Já faz tanto tempo desde que a hipótese do contínuo se mostrou indecidível com base nos axiomas, que acho que a maioria dos matemáticos meio que se acostumou com o fato de que talvez seja o máximo que se pode dizer. E acho que seria incrível neste ponto se os matemáticos como um todo pudessem se reunir em torno de alguma nova heurística que, você sabe, todos concordassem que deveria ser verdade. E talvez isso nunca aconteça. Talvez, talvez a comunidade tenha muitos pontos de vista diferentes. Para ser justo, acho - acho que é uma visão consensual, mas não uma visão universal, de que ZFC é o conjunto de axiomas verdadeiros para a matemática. Certamente há pessoas que consideram que qualquer coisa infinita simplesmente não existe. E não faz sentido falar sobre isso e não deveríamos estar falando sobre isso.
Strogatz(35:05): Bem, essa é uma tradição consagrada pelo tempo. Quero dizer, isso é - Aristóteles estava nos dizendo para tomar cuidado com o infinito. E ao longo da história da matemática, pessoas tão boas quanto[Carl Friedrich] Gaussforam muito cuidadosos com esse conceito de infinito completo, que é o que Cantor abriu essa lata de minhocas para nós. Mas não sei se são vermes. Parece que é - você sabe, qual é o problema? É que vamos soltando a imaginação e descobrindo muita coisa interessante.
(35:30) Mas eu tenho uma pergunta. Como alguém que não é um teórico de conjuntos, não quero perguntar de maneira indelicada. Mas pode soar um pouco indelicado, o que - você sabe para onde estou indo, certo? Tipo, como isso me afeta? O resto da matemática sente as vibrações que estão acontecendo dentro da teoria dos conjuntos? Ou estamos isolados do que vocês estão fazendo?
Moore (35:49): Essa é uma boa pergunta. Acho que a maioria dos matemáticos nunca encontra uma afirmação que não seja demonstrável nem refutável dentro do sistema de axiomas usual para matemática dentro do ZFC. E os teóricos dos conjuntos, até certo ponto, descobriram uma explicação para isso. Existe um modelo de teoria dos conjuntos que é maior que o modelo original de Gödel, mas menor que o universo de todos os conjuntos chamado modelo de base sólida, que[Robert] Solovaydescoberto na época do trabalho de Cohen. E a descoberta notável é que esse modelo – o que é verdadeiro nele não pode ser influenciado pela força. E, portanto, essencialmente, se você pode expressar algo sobre o que é verdadeiro ou falso nesse modelo, é algo que é amplamente imune ao fenômeno da independência.
(36:35) O problema é que este modelo de teoria dos conjuntos não é - não satisfaz o axioma da escolha. Portanto, o axioma da escolha é - esta é outra lata de minhocas aqui. Mas uma das razões pelas quais o axioma da escolha é diferente dos outros axiomas é que ele não é construtivo. Todos os outros axiomas dizem que algum conjunto do qual você tem uma descrição é, de fato, um conjunto. É assim que os axiomas funcionam. Mas o axioma da escolha diz que, dada uma coleção de conjuntos não vazios, você pode selecionar algo de cada um deles — daí a escolha —, mas não diz como você fará a seleção. Este era um axioma que, por um lado, nos permitia construir todo tipo de coisas estranhas e paradoxais. Você sabe, eu acho, no estádio de 100 anos atrás ou mais, como conjuntos não mensuráveis, seja lá o que for. Existe essa famosa decomposição da esfera, queParadoxo de Banach-Tarski, que -
Strogatz(37:29): Oh, isso é interessante.
moura(37:32): — você poderia cortar a esfera em um número finito de pedaços e depois remontá-los em duas esferas com as mesmas dimensões da esfera original. E agora, a razão pela qual isso é absurdo é que você deveria ser capaz de atribuir uma massa a cada um dos - você sabe, à esfera original e, em seguida, atribuir uma massa a todas essas peças nas quais você pode cortá-las, e aquelas deve somar à massa original. E então, quando você os reorganizar, esse processo não deve alterar a massa. Mas de alguma forma, quando você os remonta, você tem o dobro da massa com a qual começou. Agora, o ponto desse argumento - onde as coisas dão errado é que esse corte da esfera que o axioma da escolha permite que você faça é tão ruim que você não pode atribuir massas a essas peças que você tem.
(38:11) Agora, esse comportamento paradoxal levou as pessoas a pensar que o axioma da escolha é de alguma forma problemático. Talvez seja, vai levar a algum tipo de paradoxo dentro da própria matemática. E, portanto, o axioma da escolha não deve ser aceito. Uma das coisas que Gödel provou ao mesmo tempo em que provou que não se pode refutar a hipótese do contínuo é que também é seguro assumir o axioma da escolha. Isto é, se os axiomas de ZFC sem o axioma de escolha são consistentes, então também o é o conjunto de axiomas de ZFC com o axioma de escolha. Dá a você muitas coisas estranhas e exóticas, talvez, mas do ponto de vista fundamental, não polui a água.
(38:51) Algum tempo depois, houve a descoberta dessa coisa chamada lema de Zorn, que acabou por ser equivalente ao axioma da escolha. E é realmente muito proveitoso para o desenvolvimento de vários ramos diferentes da matemática. É algo que - você aprende sobre isso se for um aluno de graduação avançado ou se for um aluno de pós-graduação em matemática. De alguma forma, faz parte apenas do aprendizado necessário para uma pós-graduação em matemática. E por causa dessa extrema utilidade, é algo que simplesmente aceitamos hoje em dia. Acho que a maioria dos matemáticos não se sente confortável trabalhando sem o axioma da escolha, apenas porque em muitos casos eles podem estar usando mesmo sem saber.
(39:31) Portanto, acho que este também é um exemplo de como podemos resolver a hipótese do contínuo. É que descobrimos algum axioma no futuro que é tão útil no desenvolvimento da matemática, que apenas consideramos esse axioma como verdadeiro até certo ponto. Foi o que aconteceu com o lema de Zorn. E com o axioma da escolha, não era algo inicialmente visto como verdade. Na verdade, foi inicialmente visto com algum ceticismo.
Strogatz(39:56): Mas deixe-me ver se consigo, já que sim... Temos falado muito agora sobre o axioma da escolha: Sua relação com a hipótese do contínuo. Existe uma maneira concisa de dizer o que é isso?
moura(40:06): Você sabe, o axioma da escolha e a hipótese do continuum têm um tipo de relação curiosa porque eles... OK, a hipótese do continuum, do ponto de vista de um teórico do conjunto, permite que você construa muitas coisas exóticas . Ele permite que você faça uma construção infinitamente longa, até mesmo incontável, onde você está fazendo tudo de uma forma muito controlada, uma forma algorítmica. E construindo algum objeto estranho onde você manteve muito controle ao longo do caminho. Na ausência do axioma da escolha, a hipótese do contínuo, como afirmei originalmente, de que não existe um conjunto de regras que seja intermediário, é algo que não tem a mesma força como se o axioma da escolha fosse verdadeiro. E a razão para isso é que, por exemplo, na ausência do axioma da escolha, você pode falar sobre versões ainda mais fortes da hipótese do contínuo. Tipo, todo subconjunto dessa reta numérica, a reta numérica real, é contável ou há uma cópia do conjunto de Cantor que vive dentro dela. Tipo, há uma espécie de árvore de pontos, uma árvore binária de pontos que fica dentro do seu conjunto. E essa é uma forma bem concreta de dizer que tem o mesmo tamanho dos números reais.
Strogatz(41:14): Então, para o resto de nós em matemática fora da teoria dos conjuntos, deveríamos estar perdendo o sono sobre o - o que parece ser - tipo de status indeterminado no momento da hipótese do contínuo? Dizem-nos que é indecidível no modelo padrão da teoria dos conjuntos. Você sabe, isso importa? Isso afeta o resto da matemática?
moura(41:35): A resposta geralmente é não. Mas não é totalmente conhecido. A hipótese do contínuo. é verdade nomodelo Solovay, por exemplo: Todo conjunto de reais é contável ou há um conjunto fechado de reais dentro dele que é incontável e não possui pontos isolados. Mas há afirmações que aparecem na matemática, questões que aparecem naturalmente, meio que organicamente em outros campos, onde acontece que elas dependem da hipótese do contínuo ou de outra coisa, que é independente dos axiomas do ZFC. Um exemplo disso é algo chamado limite medial, que é um dispositivo útil em probabilidade e algumas partes da probabilidade para obter limites de coisas e ainda manter que as coisas são mensuráveis. Limites mediais são algo que você pode construir usando a hipótese do contínuo, mas não é algo que você pode construir no ZFC.
Strogatz(42:27): Isso me deixa feliz, devo dizer. Quero dizer, quero acreditar que a matemática é uma grande teia. E isso, como diz o velho ditado, “Nenhum homem é uma ilha”, de quem quer que seja, não sei. De qualquer forma, não quero que nenhuma parte da matemática seja uma ilha. Então, eu odiaria pensar que a teoria dos conjuntos é de alguma forma alguma - quero dizer, ninguém diria que é, mas mesmo a parte que contém a hipótese do contínuo, não quero que seja divorciada do grande continente. E parece que não.
moura(42:52): Certo. Se você pegar um espaço de Hilbert e observar os operadores limitados e os operadores compactos, eles são álgebras bem estudadas de objetos que são estudados em matemática. Você pode tirar um quociente deles. Estudar o que é chamado de grupo de automorfismo disso é algo que um matemático pode perguntar. E realmente,Brown, Douglas e Fillmoreperguntou sobre isso na década de 1970. E sabe-se que se a hipótese do contínuo é verdadeira ou falsa está relacionada a haver ou não automorfismos muito complicados dessa álgebra. Isso é algo que é, você sabe, um objeto padrão em um curso de análise funcional que você ensinaria em nível de pós-graduação. E essas são propriedades muito, muito básicas desse objeto.
(43:34) Mas o ponto é que, aparentemente, isso não é um problema na teoria dos conjuntos. Diferentes teóricos de conjuntos têm opiniões diferentes sobre por que o assunto é importante. Mas para mim, é por isso que o assunto é - para o que é importante. É que ele desempenha esse papel único de permitir que você saiba quando está fazendo a pergunta que pode não ser decidível, com base nos axiomas. Porque você não quer estudar esse problema que não consegue resolver sem sucesso por anos e anos e anos. E se alguém pode dizer a você: “Bem, você nunca vai realmente encontrar uma solução para esse problema, porque você não pode provar nem refutar isso”, certo? Isso é bom saber.
Strogatz(44:13): Tudo bem. Bem, para mim, esta é uma mensagem muito edificante que você está dando, Justin, que - John Donne! Esse é o nome que eu estava procurando, John Donne. E vamos dizer isso da maneira moderna: nenhuma pessoa é uma ilha. E o mesmo sem nenhuma parte da matemática. Existe - mesmo as coisas aparentemente mais esotéricas nos confins da teoria dos conjuntos ainda estão ligadas a partes muito realistas da matemática, em probabilidade, na análise funcional que fundamenta a teoria quântica. Então, isso é novidade para mim e só quero agradecer por nos esclarecer. Isso foi divertido. Obrigado.
moura(44:46): Obrigado por me receber.
Locutor(44:46): Explore mais mistérios matemáticos noquantalivroA conspiração dos números primos, publicado pela The MIT Press, disponível agora emAmazon.com,Barnesandnoble.com, ou sua livraria local. Além disso, certifique-se de contar a seus amigos sobre este podcast e nos dar uma crítica positiva ou seguir onde você ouve. Isso ajuda as pessoas a encontrarA alegria do porquê.
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